最父亲公概数(欧几里得算法和二进制算法)

来源:未知   2018-10-02 02:14  编辑:admin  人气:

  欧几里道德算法又称回转相摒除法,用于计算两个整顿数a,b的最父亲公概数。?

  gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

  证皓壹:

  证皓:a却以体即兴成a=kb + r,则r=a mod b

  假定d是a,b的壹个公概数,则拥有

  d|a, d|b,而r=a - kb,故此d|r

  故此d是(b,a mod b)的公概数

  假定d 是(b,a mod b)的公概数,则

  d | b , d |r ,条是a=kb +r

  故此d亦(a,b)的公概数

  故此(a,b)和(b,a mod b)的公概数是壹样的,其最父亲公概数也必定相当,得证。

  证皓二:

  第壹步:令c=gcd(a,b),则设a=mc,b=nc

  第二步:却知r=a-kb=mc-knc=(m-kn)c

  第叁步:根据第二步结实却知c亦r的因数

  第四步:却以论断m-kn与n互斋【不然,却设m-kn=xd,n=yd,(d>1),则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d,则a=mc=(ky+x)dc,b=nc=ycd,故a与b最父亲公概数≥cd,而匪c,与前面定论矛盾】

  从而却知gcd(b,r)=c,就而gcd(a,b)=gcd(b,r),得证

  知点:a=mc,b=nc,假设m,n互质,则gcd(a,b)=c。

  剩意:两种方法是拥有区佩的。

  ?

  二进制最父亲公概数算法备止了欧几里得算法(回转相摒除法)的微少量取模操干,拥有效增添以了时间消费,且更为便宜。

  本算法基于以下雄心:

  关于两个数的最父亲公概数gcd(m, n),拥有

  m

  m偶n偶时,gcd(m, n)=2*gcd(m/2, n/2)

  m偶n零数时,gcd(m, n)=gcd(m/2, n)

  m零数n偶时,gcd(m, n)=gcd(m, n/2)

  m零数n零数时,gcd(m, n)=gcd(n, m-n)

  采取面提交归即却。

  最小公倍数:

  ?

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